這樣來學習簡單多了！用Excel理解梯度下降

本文作者為Jahnavi Mahanta，前American Express（美國運通公司）資深機器學習工程師、深度學習在線教育網站Deeplearningtrack聯合創始人。

Jahnavi Mahanta：對算法的作用建立直覺性的理解——在我剛入門機器學習的時候，這讓我覺得非常困難。不僅僅是因為理解數學理論和符號本身不容易，也因為它很無聊。我到線上教程裏找辦法，但裏麵隻有公式或高級別的解釋，在大多數情況下並不會深入細節。

就在那時，一名數據科學同事介紹給我一個新辦法——用Excel表格來實現算法，該方法讓我拍案叫絕。後來，不論是任何算法，我會試著小規模地在 Excel 上學習它——相信我，對於提升你對該算法的理解、完全領會它的數學美感，這個法子簡直是奇跡。

案例

讓我用一個例子向各位解釋。

大多數數據科學算法是優化問題。而這方麵最常使用的算法是梯度下降。

或許梯度下降聽起來很玄，但讀完這篇文章之後，你對它的感覺大概會改變。

這裏用住宅價格預測問題作為例子。

現在，有了曆史住宅數據，我們需要創建一個模型，給定一個新住宅的麵積能預測其價格。

任務：對於一個新房子，給定麵積X，價格Y是多少？

讓我們從繪製曆史住宅數據開始。

現在，我們會用一個簡單的線性模型，用一條線來匹配曆史數據，根據麵積X來預測新住宅的價格Ypred。

上圖中，紅線給出了不同麵積下的預測價格Ypred。

Ypred = a+bX

藍線是來自曆史數據的實際住宅價格Yactual。

Yactual和Ypred之間的差距，即黃色虛線，是預測誤差 E。

我們需要發現一條使權重a，b獲得最優值的直線，通過降低預測誤差、提高預測精度，實現對曆史數據的最佳匹配。

所以，目標是找到最優a， b，使Yactual和Ypred之間的誤差E最小化。

誤差的平方和(SSE) = ? a (實際價格 – 預測價格)2=  ? a(Y – Ypred)2

（提醒，請注意衡量誤差的方法不止一種，這隻是其中一個）

這時便是梯度下降登場的時候。梯度下降是一種優化算法，能找到降低預測誤差的最優權重 (a，b) 。 

理解梯度下降

現在，我們一步步來理解梯度下降算法：

用隨機值和計算誤差（SSE）初始化權重a和b。

計算梯度，即當權重（a & b）從隨機初始值發生小幅增減時，SSE的變動。這幫助我們把a & b的值，向著最小化SSE的方向移動。

用梯度調整權重，達到最優值，使SSE最小化。

使用新權重來做預測，計算新SSE。

重複第二、第三步，直到對權重的調整不再能有效降低誤差。

我在 Excel 上進行了上述每一步，但在查看之前，我們首先要把數據標準化，因為這讓優化過程更快。

第一步

用隨機值的a、b初始化直線Ypred = a + b X，計算預測誤差SSE。

第二步

計算不同權重的誤差梯度。

?SSE/?a = – (Y-YP)

?SSE/?b = – (Y-YP)X

這裏， SSE=? (Y-YP)2 = ?(Y-(a+bX))2

你需要懂一點微積分，但沒有別的要求了。

?SSE/?a、?SSE/?b是梯度，它們基於SSE給出 a、b 移動的方向。

第三步

用梯度調整權重，達到最小化SSE的最優值

我們需要更新a、b的隨機值，來讓我們朝著最優a、b的方向移動。

更新規則:

a – ?SSE/?a

b – ?SSE/?b

因此：

新的a = a – r * ?SSE/?a = 0.45-0.01*3.300 = 0.42

新的b = b – r * ?SSE/?b= 0.75-0.01*1.545 = 0.73

這裏，r是學習率= 0.01， 是權重調整的速率。

第四步

使用新的a、b做預測，計算總的SSE。

你可以看到，在新預測上 總的SSE從0.677降到了0.553。這意味著預測精度在提升。

第五步

重複第三、第四步直到對 a、b 的調整無法有效降低誤差。這時，我們已經達到了最優 a、b，以及最高的預測精度。

這便是梯度下降算法。該優化算法以及它的變種是許多機器學習算法的核心，比如深度網絡甚至是深度學習。